Геометрия евклида

Геометрия. Раздел математики

Раздел математики именуемый словом «геометрия» восходит к греческим «Земля» (гео) и «измерение» (метри). Как следует из названия данной дисциплины, грекам было нужно измерять элементарные природные формы. Практическое значение геометрии лежит в области землемерия и картографии, математических методов определения объема, площади и длины. Кроме этого, греческие ученые скоро поняли, что всякие формы подчиняются определенным закономерностям и правилам. Около 300 г. до н. э. греческий великий математик Евклид из Александрии собрал и детально обрисовал правила геометрии в труде «Начала», складывающемся из 13 книг. В нем он представил комплект определений, аксиом, теорем и математических доказательств, ставших основой геометрии как научной дисциплины. На изложенные в «Началах» положения опираются все математические дисциплины, развившиеся из геометрии. Вклад Евклида в математику настолько велик и глубок, что его называют «отцом геометрии».

Постулаты Евклида

Его главная книга «Элементы» (первоначально написанная на древнегреческом языке) стала базовой работой важных математических учений. Она разделена на 13 отдельных книг.

• Книги от первой до шестой посвящены геометрии плоскости.
• Книги семь-девять имеют дело с теорией чисел
• Книга восьмая о геометрической прогрессии
• Книга десятая посвящена иррациональным числам
• Книги одиннадцать-тринадцать представляют собой трехмерную геометрию (стереометрию).

Гений Евклида состоял в том, чтобы взять в оборот множество разнообразных элементов математических идей и объединить их в один логический, последовательный формат.

Лемма Евклида, которая утверждает, что фундаментальное свойство простых чисел состоит в том, что если простое число делит произведение двух чисел, оно должно делить по крайней мере одно из этих чисел.

Что такое «евклидова геометрия»?

Свои знания в планиметрии и стереометрии гениальный мыслитель формулировал в виде аксиом и постулатов. Система аксиом касалась четырёх понятий: точки, прямой, плоскости, движения, а также взаимоотношения этих понятий между собой.

Для построения конкретных фигур на плоскости или в пространстве он разработал систему постулатов, предписывающих конкретные действия. Подобная система аксиом и постулатов в современности получила название «евклидова геометрия».

Формальное определение

Чтобы дать определение евклидова пространства, в качестве основы проще всего использовать понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на парах векторов которого задана вещественнозначная функция (⋅,⋅),{\displaystyle (\cdot ,\cdot ),} обладающая следующими тремя свойствами:

• Билинейность: для любых векторов u,v,w{\displaystyle \mathbf {u,v,w} } и для любых вещественных чисел a,b{\displaystyle a,b} справедливы соотношения (au+bv,w)=a(u,w)+b(v,w){\displaystyle (a\mathbf {u} +b\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,w)} +b\mathbf {(v,w)} } и (u,av+bw)=a(u,v)+b(u,w);{\displaystyle (\mathbf {u} ,a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )=a\mathbf {(u,v)} +b\mathbf {(u,w)} ;}
• Симметричность: для любых векторов u,v{\displaystyle u,v} верно равенство (u,v)=(v,u);{\displaystyle \mathbf {(u,v)=(v,u)} ;}
• Положительная определённость: (u,u)⩾{\displaystyle \mathbf {(u,u)} \geqslant 0} для любого u,{\displaystyle u,} причём (u,u)=⇒u={\displaystyle \mathbf {(u,u)} =0\Rightarrow \mathbf {u} =0.}

Аффинное пространство, соответствующее такому векторному пространству, называется евклидовым аффинным пространством или просто евклидовым пространством.

Пример евклидова пространства — координатное пространство Rn,{\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} состоящее из всевозможных наборов вещественных чисел (x1,x2,…,xn),{\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),} скалярное произведение где определяется формулой (x,y)=∑i=1nxiyi=x1y1+x2y2+⋯+xnyn.{\displaystyle \mathbf {(x,y)} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}

Длины и углы

Заданного на евклидовом пространстве скалярного произведения достаточно для того, чтобы ввести геометрические понятия длины и угла. Длина вектора u{\displaystyle u} определяется как (u,u){\displaystyle {\sqrt {\mathbf {(u,u)} }}} и обозначается |u|.{\displaystyle |\mathbf {u} |.} Положительная определённость скалярного произведения гарантирует, что длина ненулевого вектора ненулевая, а из билинейности следует, что |au|=|a||u|,{\displaystyle |a\mathbf {u} |=|a||\mathbf {u} |,} то есть длины пропорциональных векторов пропорциональны.

Угол между векторами x{\displaystyle \mathbf {x} } и y{\displaystyle \mathbf {y} } определяется как arccos⁡(x,y)|x||y|.{\displaystyle \arccos \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} .} Из теоремы косинусов следует, что для двумерного евклидова пространства (евклидовой плоскости) данное определение угла совпадает с обычным. Ненулевыеортогональные векторы, как и в трёхмерном пространстве, можно определить как векторы под углом π2,{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},} то есть как векторы с нулевым скалярным произведением.

Замечание

Необходимо уточнить, что, чтобы арккосинус от (x,y)|x||y|{\displaystyle \mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} } был определён, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство |(x,y)|x||y||⩽1.{\displaystyle \left|\mathbf {\tfrac {(x,y)}{|x||y|}} \right|\leqslant 1.} Это неравенство действительно выполняется в произвольном евклидовом пространстве: оно называется неравенством Коши — Буняковского. Из него, в свою очередь, следует неравенство треугольника: |u+v|⩽|u|+|v|.{\displaystyle \mathbf {|u+v|\leqslant |u|+|v|} .} Неравенство треугольника, вместе с вышеперечисленными свойствами длины, означает, что длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция d(x,y),{\displaystyle d\mathbf {(x,y)} ,} или |x−y|,{\displaystyle \mathbf {|x-y|} ,} задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками) x{\displaystyle \mathbf {x} } и y{\displaystyle \mathbf {y} } координатного пространства Rn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} задаётся формулой d(x,y)=‖x−y‖=∑i=1n(xi−yi)2.{\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}

Геометрия Евклида

В самом узком смысле евклидова геометрия — это геометрия, которую Евклид представил в «Элементах» .

Геометрия (персонификация) учит в евклидовой геометрии. (Иллюстрация начала XIV века)

В соответствии с этой аксиоматической структурой более двух тысяч лет преподавалась геометрия. Фраза «more geometryo» (лат. «В манере (евклидовой) геометрии») до сих пор служит ссылкой на строго дедуктивную аргументацию.

Евклид делает это следующим образом:

Определения

Книга начинается с нескольких определений , например:

• Один момент — это то, что не имеет частей.
• Линия является длина без ширины.
• Прямая линия , которая всегда одинакова по отношению к точкам на ней.

Точно так же плоскости , углы и т. Д. Определяются.

В дополнение к этим более или менее четким определениям основных терминов, существуют также определения, которые следует понимать как введение слов в современном смысле , потому что они используются в сокращенной форме в следующем тексте, например, для параллелей : «Параллельные являются прямые линии, лежащие в одной плоскости и в одно и то же время, если они продолжаются до бесконечности с обеих сторон, они не пересекаются с обеих сторон ».

Элементы дают в общей сложности 35 определений.

Постулаты

После более описательных определений следуют еще пять определяющих постулатов . Здесь требуется

• что можно проложить маршрут из любой точки в любую точку,
• что ограниченная прямая линия может быть продолжена непрерывно,
• что вы можете нарисовать круг с любым центром и расстоянием ,
• что все прямые углы равны друг другу и
• что если бы прямая линия при пересечении с двумя прямыми имела эффект, заключающийся в том, что углы, созданные внутри на одной стороне, были бы меньше двух прямых, тогда две прямые линии встретились бы на той стороне, на которой лежат углы, когда они продолжены до бесконечности, которые вместе меньше двух правильных (короче: для прямой линии, проходящей через данную точку, которая будет лежать вне этой прямой, может существовать не более одной прямой, параллельной ей, см. постулат параллелей ).

Аксиомы евклида

• То, что одинаково, равно одно другому.
• Если подобное добавляется к подобному, то суммы одинаковы.
• Если подобное отделяется от подобного, то остается то же самое.
• Что можно сделать совпадающим друг с другом, равно друг другу.
• Целое больше, чем часть.

Проблемы и теоремы

Основываясь на этом, Евклид теперь решает проблемы …

Пример : «Постройте равносторонний треугольник над заданным маршрутом».

… и теоремы

Пример : «Если в треугольнике два угла равны, стороны, противоположные этим углам, также должны быть равны друг другу».

Для решения проблемы или доказательства теоремы в основном используются только определения, постулаты и аксиомы, а также ранее доказанные теоремы и конструкции из ранее решенных задач.

Геометрия и реальность в Евклиде

Как платоник Евклид был убежден, что сформулированные им постулаты и аксиомы отражают реальность. Согласно теории идей Платона , они принадлежат к онтологически более высокому уровню, чем нарисованные на песке фигуры, являющиеся их изображениями. Отношения между неидеально нарисованным кругом и идеальной идеей круга иллюстрируют разницу между чувственно воспринимаемым миром и умопостигаемым (только духовно воспринимаемым) миром, что проиллюстрировано платоновской аллегорией пещеры .

Отличия от чисто аксиоматической теории

С сегодняшней точки зрения, элементы не соответствуют требованиям аксиоматической теории :

• Цель определений (поскольку они касаются основных терминов) в случае Евклида — установить ссылку на знакомый геометрический мир опыта и мотивировать постулаты. О выразительности таких предложений судят по-разному. Строгие аксиомы считают их излишними.
• Пять постулатов наиболее точно представляют то, что сегодня считалось бы аксиомой . Однако они недостаточно полны и слишком неточны в качестве основы для выводов, сделанных на их основе. — Следует отметить, что по крайней мере первые три «постулата» постулируют возможность определенных построений (а не правильность определенных фактов). Поэтому аксиоматику Евклида можно также назвать конструктивной аксиоматикой.
• Утверждения, называемые аксиомами, относятся не столько к геометрии, сколько к логической основе. Однако с точки зрения логического обоснования они неполны.

Отсюда следует, что в умозаключениях неизбежно используются различные невысказанные предположения.

Обобщения

Если вы рассматриваете матрицу с действительными или комплексными элементами как соответственно длинный вектор, евклидова норма также может быть определена для матриц и тогда называется нормой Фробениуса . Евклидова норма также может быть обобщена на бесконечномерные векторные пространства над действительными или комплексными числами, а затем частично имеет свои собственные имена. Наиболее важные обобщения заключаются в следующем.

ℓ 2 стандартных

является обобщением евклидовой нормы в пространстве последовательностей квадратично суммируемых последовательностей . Вот только конечная сумма заменяется на Бесконечного и ℓ 2 норма затем дается как
ℓ2{\ displaystyle \ ell ^ {2}} (ап)п∈KN{\ displaystyle (a_ {n}) _ {n} \ in {\ mathbb {K}} ^ {\ mathbb {N}}}

‖(ап)‖ℓ2знак равно(∑пзнак равно1∞|ап|2)12{\ displaystyle \ | (a_ {n}) \ | _ {\ ell ^ {2}} = \ left (\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} | a_ {n} | ^ {2} \ справа) ^ {1/2}}.

Пространство является гильбертово пространство со скалярным произведением двух последовательностей
ℓ2{\ displaystyle \ ell ^ {2}}

⟨(ап),(бп)⟩ℓ2знак равно∑пзнак равно1∞ап¯⋅бп{\ displaystyle \ left \ langle \, (a_ {n}), (b_ {n}) \, \ right \ rangle _ {\ ell ^ {2}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } {\ overline {a_ {n}}} \ cdot b_ {n}}.

L 2 стандарт

Кроме того, евклидова норма может быть обобщена на функциональное пространство функций, интегрируемых на множестве квадратично , что происходит в два этапа. Во-первых, -норма является квадратичной интегрируемой по Лебегу функцией при
Л.2(Ω){\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)} Ω{\ displaystyle \ Omega}Л.2{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {2}}жΩ→K{\ Displaystyle f \ двоеточие \ Omega \ rightarrow {\ mathbb {K}}}

‖ж‖Л.2(Ω)знак равно(∫Ω|ж(Икс)|2dИкс)12{\ Displaystyle \ | е \ | _ {{\ mathcal {L}} ^ {2} (\ Omega)} = \ left (\ int _ {\ Omega} | е (х) | ^ {2} \, dx \ right) ^ {1/2}},

определяется, в результате чего по сравнению с ℓ 2 нормы только сумма была заменена интегралом. Изначально это только полунорма , поскольку не только нулевая функция, но и все функции, которые отличаются от нулевой функции только в терминах набора с нулевой мерой Лебега, интегрируются в ноль

Поэтому, принимая во внимание количество классов эквивалентности функций , которые почти везде одинаковы, и получает на этом L -пространстве L нормы по
ж∈Л.2(Ω){\ Displaystyle \ в L ^ {2} (\ Omega)}

‖ж‖Л.2(Ω)знак равно‖ж‖Л.2(Ω){\ Displaystyle \ | \, \, \ | _ {L ^ {2} (\ Omega)} = \ | е \ | _ {{\ mathcal {L}} ^ {2} (\ Omega)} }.

Пространство представляет собой гильбертово пространство со скалярным произведением двух функций
Л.2(Ω){\ Displaystyle L ^ {2} (\ Omega)}

⟨ж,г⟩Л.2(Ω)знак равно∫Ωж(Икс)¯⋅г(Икс)dИкс{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle _ {L_ {2} (\ Omega)} = \ int _ {\ Omega} {\ overline {f (x)}} \ cdot g (x) \, dx}.

Его также можно обобщить с меры Лебега на общие меры .

Общие векторные пространства

В более общем смысле евклидова норма может быть определена в любых бесконечномерных векторных пространствах через связанный базис Гамеля . Если такая Хамель основа имеет , где множество индексов , то каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации с коэффициентами (здесь лишь конечное число коэффициентов могут отличаться от 0). Евклидова норма вектора тогда определяется какV{\ displaystyle V}{Икся}я∈Я.{\ displaystyle \ {x_ {i} \} _ {я \ in I}}V{\ displaystyle V}Я.{\ displaystyle I}v∈V{\ displaystyle v \ in V} vзнак равно∑я∈Я.аяИкся{\ displaystyle \ textstyle v = \ sum _ {я \ in I} a_ {i} x_ {i}}ая∈K{\ displaystyle a_ {i} \ in {\ mathbb {K}}}ая{\ displaystyle a_ {i}}

‖v‖2знак равно(∑я∈Я.|ая|2)12{\ displaystyle \ | v \ | _ {2} = \ left (\ sum _ {i \ in I} | a_ {i} | ^ {2} \ right) ^ {1/2}}

и тем самым из скалярного произведения

⟨v,ш⟩знак равно⟨∑я∈Я.аяИкся,∑я∈Я.бяИкся⟩знак равно∑я∈Я.а¯ябя{\ displaystyle \ langle v, w \ rangle = \ left \ langle \ sum _ {i \ in I} a_ {i} x_ {i}, \ sum _ {i \ in I} b_ {i} x_ {i} \ right \ rangle: = \ sum _ {i \ in I} {\ bar {a}} _ {i} b_ {i}}

индуцированный для векторов .
v,ш∈V{\ displaystyle v, w \ in V}

Иногда норма, индуцированная произвольным скалярным произведением на вещественном пространстве скалярных произведений, также называется евклидовой нормой.

Интересные факты из жизни

Несколько любопытных фактов из биографии Евклида:

1. Самый древний известный математический трактат принадлежит Евклиду.
2. До сих пор нет данных о месте рождения и смерти великого ученого. Однако известно место занятий Евклида примерно 2400 лет назад и место его нахождения — Александрия. Интересно, что этот городок сегодня — второй по размерам в Египте после Каира;
3. Евклид смог создать 4 книжки по коническому виду сечений.
4. Фундаментальный труд «Начала» считается настолько важным для науки, что до сих пор его используют в жизни. Интересно, что есть другие публикации с подобным наименованием, но самый популярный — труд Евклида».
5. С самой юности Евклид обучался у именитого ученого Платона, обучавшего Аристотеля в Древней Греции. Сам же Платон обучался у Сократа.
6. По традиции геометрия сегодня носит название этого ученого.
7. Есть легенда, что когда один раз ученик величайшего математика спросил у него, как геометрия может помочь ему в жизни, то Евклид дал ему денег и прогнал с занятий.
8. Евклид до сих пор считается автором многочисленных книг, чье авторство не было подтверждено. Это разные труды, к примеру, публикации по музыке, философии и медицине. Официально известно, что великий ученый сделал открытие в оптических и астрономических областях.
9. Сегодня признают римановскую, лобачевскую и евклидову геометрию. Последняя — самая традиционная и часто используемая.
10. В первый раз евклидовский труд перевели в конце восемнадцатого века. При этом «Начала» впервые были переведены на армянский язык в одиннадцатом веке.
11. Любимая фраза: «Нет царского пути в геометрии».

В целом, Евклид является отцом геометрии, и он не случайно так называется. Он первым сделал сложное понятным и дал толчок развитию естественных наук. Его книги неоценимы по значимости и применяются сегодня в области математических и геометрических наук во всем мире.

биография

Нет прямого источника о жизни Евклида: у нас нет ни письма, ни автобиографических указаний (даже в виде предисловия к произведению), ни официальных документов, ни даже намеков кого-либо из его современников. Как резюмирует историк математики Питер Шрайбер, «о жизни Евклида не известно ни одного достоверного факта».

Написание старейшего известно о жизни появляется Евклид в сводке по истории геометрии , написанного V — го  века нашей эры философа неоплатоник Прокл , комментатор первой книги элементов . Сам Прокл не дает никаких указаний. Он только говорит, что «объединив свои Элементы , скоординировал многие из них и вызвал в неопровержимых демонстрациях те, которые его предшественники демонстрировали в небрежной манере. Этот человек также жил при первом Птолемее, потому что Архимед упоминает Евклида. Таким образом, Евклид старше учеников Платона , но старше Архимеда и Эратосфена  »

Принимая во внимание временную шкалу, данную Проклом, Евклид, Платон и Архимед, жившие между современниками Птолемея I er , следовательно, жили около 300 г. до н

Ж.-К.

Ни один документ не противоречит этим нескольким предложениям или не подтверждает их. Прямое упоминание Евклида в произведениях Архимеда происходит из отрывка, который считается сомнительным. Архимед также обратиться к некоторым результатам Стихии и ostrakon , найденный на острове Элефантина и датированных III — го  века до н.э., обсуждает цифры изученные в тринадцатой книге элементов , а десятиугольника и икосаэдра , но не воспроизводят евклидовы произнесение точно; поэтому они могли происходить из источников до Евклида. Ориентировочная дата 300 г. до н.э. Однако считается, что AD совместим с анализом содержания евклидовой работы и принят историками математики.

Кроме того, намек математиком IV — го  века нашей эры, Папп Александрийский , свидетельствует о том , что ученики Евклида преподавал в Александрии . На этом основании некоторые авторы связывают Евклида с Мусионом Александрийским , но, опять же, он не упоминается ни в одном соответствующем официальном документе. Квалификатор, часто связанный с Евклидом в древности, — это просто stoichéiôtês (на древнегреческом  : στοιχειωτής ), то есть «автор Элементов».

Портрет Евклида работы Жюста де Гана, написанный около 1474 года; геодезист ошибочно отождествлен с Евклидом из Мегары из- за распространенной в то время путаницы между последним и автором .

Про Евклида ходят несколько анекдотов, но, поскольку они появляются и для других математиков, они не считаются реалистичными: это, таким образом, один из знаменитых анекдотов Прокла, согласно которому Евклид ответил бы Птолемею — который хотел более легкого пути, чем элементы  — что там не было ни царская дорога в геометрии; вариант того же анекдота на самом деле приписывают Менехму и Александру Великому . Точно так же, начиная с поздней античности , различные подробности были добавлены к рассказам о жизни Евклида без новых источников и часто противоречивым образом. Таким образом, некоторые авторы рождают Евклида в Тире , другие — в Геле , ему приписывают различные генеалогии , конкретных мастеров, разные даты рождения и смерти, независимо от того, соблюдают ли правила жанра или одобряют определенные интерпретации. Таким образом, в средние века и в начале Возрождения математика Евклида часто путали с современным философом Платона Евклидом Мегарским .

Столкнувшись с этими противоречиями и отсутствием надежных источников, историк математики Жан Итар даже предположил в 1961 году, что Евклид как личность, возможно, не существовал, и что это имя могло обозначать «собирательное название« математической школы », либо настоящий мастер в окружении учеников или даже чисто вымышленное имя. Но эта гипотеза, похоже, не принимается.

Один из самых старых дошедших до нас фрагментов Элементов Евклида, обнаруженный в Оксиринхе , датируется периодом между 75 и 125 годами до нашей эры. Мы не более чем на один процент текста Евклида в более ранних источниках в конце IX — го  века.

характеристики

Далее предполагается общий случай вещественных или комплексных векторов конечной размерности с или . Следующие свойства являются лишь частными случаями соответствующих свойств общих норм, индуцированных скалярным произведением .
v∈Kп{\ displaystyle v \ in {\ mathbb {K}} ^ {n}}Kзнак равноР.{\ Displaystyle {\ mathbb {K}} = \ mathbb {R}}Kзнак равноС.{\ Displaystyle {\ mathbb {K}} = \ mathbb {C}}

Аксиомы нормы

Векторы в неравенстве треугольника

Евклидова норма удовлетворяет трем . определённость

‖v‖2знак равно⇒vзнак равно{\ Displaystyle \ | v \ | _ {2} = 0 \; \ Rightarrow \; v = 0}

означает, что если длина вектора равна нулю , это должен быть нулевой вектор . Абсолютная однородностьv∈Kп{\ displaystyle v \ in {\ mathbb {K}} ^ {n}}

‖α⋅v‖2знак равно|α|⋅‖v‖2{\ Displaystyle \ | \ альфа \ CDOT v \ | _ {2} = | \ альфа | \ CDOT \ | v \ | _ {2}}

утверждает, что, когда компоненты вектора умножаются на число , длина вектора изменяется с величиной этого числа. Неравенство треугольника ( )
α∈K{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {K}}

‖v+ш‖2≤‖v‖2+‖ш‖2{\ Displaystyle \ | v + вес \ | _ {2} \ leq \ | v \ | _ {2} + \ | ш \ | _ {2}}

наконец, заявляет, что длина суммы двух векторов не больше суммы двух длин. Равенство применяется именно тогда, когда два вектора указывают в одном направлении. Доказательство неравенства треугольника основано на неравенстве Коши-Шварцаv,ш∈Kп{\ displaystyle v, w \ in {\ mathbb {K}} ^ {n}}

|⟨v,ш⟩|≤‖v‖2⋅‖ш‖2{\ displaystyle \ left | \ langle v, w \ rangle \ right | \ leq \ | v \ | _ {2} \ cdot \ | w \ | _ {2}}.

Сфера единства и сфера единства

Единичная сфера (синий) и открытая единичная сфера (красный) в двух измерениях

Евклидова норма является специальной р -норма для выбора и, следовательно , также называется 2-нормой. Единичная сфера евклидовой нормы, то есть множество
пзнак равно2{\ displaystyle p = 2}

{v∈Kп‖v‖2знак равно1}{\ Displaystyle \ {v \ in {\ mathbb {K}} ^ {n} \ двоеточие \ | v \ | _ {2} = 1 \}}

Векторы со стандартным топливом имеют два реальных измерения в форме круга , в трех реальных измерениях форму сферической поверхности и в общих размерах форму шара . Аналогично этому называют сумму

{v∈Kп‖v‖2≤1}{\ displaystyle \ {v \ in {\ mathbb {K}} ^ {n} \ двоеточие \ | v \ | _ {2} \ leq 1 \}} или же. {v∈Kп‖v‖2<1}{\ Displaystyle \ {v \ in {\ mathbb {K}} ^ {n} \ двоеточие \ | v \ | _ {2} <1 \}}

замкнутая или открытая единичная сфера евклидовой нормы. Он имеет форму круглого диска в двух реальных измерениях и форму сферы в трех и более измерениях . Евклидова норма также может быть определена как функционал Минковского, используя его единичную сферу .

Уравнение параллелограмма

→ Основная статья : уравнение параллелограмма

Векторы в уравнении параллелограмма

Евклидова норма достаточна для всех векторов в параллелограмм уравненияv,ш∈Kп{\ displaystyle v, w \ in {\ mathbb {K}} ^ {n}}

‖v+ш‖22+‖v-ш‖22знак равно2(‖v‖22+‖ш‖22){\ Displaystyle \ | v + вес \ | _ {2} ^ {2} + \ | vw \ | _ {2} ^ {2} = 2 (\ | v \ | _ {2} ^ {2} + \ | ш \ | _ {2} ^ {2})}

и является единственной p -нормой с этим свойством, см. также теорему Жордана-фон Неймана .

Унитарная инвариантность

Евклидова норма — также как единственная p- норма — инвариантна относительно унитарных преобразований . Поэтому, если унитарная матрица (в комплексном случае) или ортогональная матрица (в реальном случае) , то применяется
U∈Kп×п{\ Displaystyle U \ in {\ mathbb {K}} ^ {п \ раз п}}

‖Uv‖2знак равно‖v‖2{\ Displaystyle \ | УФ \ | _ {2} = \ | v \ | _ {2}},

как насчет произведения

‖Uv‖22знак равно⟨Uv,Uv⟩знак равно⟨v,UЧАСUv⟩знак равно⟨v,U-1Uv⟩знак равно⟨v,v⟩знак равно‖v‖22{\ Displaystyle \ | Uv \ | _ {2} ^ {2} = \ langle Uv, Uv \ rangle = \ langle v, U ^ {H} Uv \ rangle = \ langle v, U ^ {- 1} Uv \ rangle = \ langle v, v \ rangle = \ | v \ | _ {2} ^ {2}}

следует. Евклидова норма не меняется при унитарных преобразованиях. Для вещественных векторов такими преобразованиями являются, например, вращения вектора вокруг нулевой точки . Это свойство проявляется, например, при численном решении линейных задач наименьших квадратов с использованием метода наименьших квадратов для QR-разложений .

Краткая биография

Биография Евклида до конца не изучена, к примеру, до сих пор неизвестен год рождения. Известно, что он появился на свет в небольшом районе Афин и был платоновским учеником.

Подъем его научной работы пришелся на правление Птолемея Первого. Некоторые сведения о его жизни можно проследить по арабским рукописям и архимедовым письмам к друзьям. Так, по ним можно определить, что Евклид был сыном греческого ученого и жил около Тира в Сирии.

С малых лет получал знания о мире от своего отца, он же привил сыну любовь к естественным наукам, а затем Евклид поступил в школу Платона, где и обучился математическим основам.

Повзрослев, его пригласили в храм Мусейон (по другим данным он был одним из его основателей), в котором собирались видные ученые с поэтами. Тут были классы для занятий. Также храм был заполнен садами с башнями астрономии, помещениями для одиноких размышлений и большой библиотекой.

В Мусейоне он смог открыть школу с лучшими математиками и монументальный труд в области математики, в котором заложил планиметрические основы со стереометрией, теорией чисел, законами алгебры, методами нахождения площадей с объемами и др.

Фрагмент папируса с текстом «Начал» Евклида

Монументальный труд — публикация «Начала». Это серия из 13 книг, представляющая собой обработанные публикации древнегреческих математиков с пятого по четвертый век до нашей эры.

Кроме «Начал», было создано еще одно сочинение — «Данные», в котором были опубликованы основы по геометрическому анализу. Кроме того, александрийский ученый создал учебник, с помощью которого в то время и сейчас изучают астрономию, перспективу, отражение в зеркале, музыкальные интервалы и решают тригонометрические задачи.

Все оставшиеся годы жизни посвятил изучению естественных наук и математических законов, отчего его называют отцом геометрии. О других аспектах его жизни неизвестно до сих пор. Умер в Александрии.

Это интересно: 231,ДУХОВНАЯ КУЛЬТУРА — разбираемся внимательно

Системы обозначений

Существует несколько конкурирующих систем обозначений.

• Точки обычно обозначаются прописными латинскими буквами A,B,C,…{\displaystyle A,B,C,\dots }.
• Прямые обычно обозначаются строчными латинскими буквами a,b,c,…{\displaystyle a,b,c,\dots }.
• Расстояние между точками P{\displaystyle P} и Q{\displaystyle Q} обычно обозначается PQ{\displaystyle PQ} или |PQ|{\displaystyle |PQ|}.
• Отрезок между точками P{\displaystyle P} и Q{\displaystyle Q} обычно обозначается PQ{\displaystyle } или PQ¯{\displaystyle {\overline {PQ}}}.
• Луч из точки P{\displaystyle P} через точку Q{\displaystyle Q} обычно обозначается PQ){\displaystyle [PQ)} или PQ→{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}.
• Прямая через точки P{\displaystyle P} и Q{\displaystyle Q} обычно обозначается (PQ){\displaystyle (PQ)} или PQ{\displaystyle {\overleftrightarrow {PQ}}}.
• Треугольник с вершинами P{\displaystyle P}, Q{\displaystyle Q} и R{\displaystyle R} обычно обозначается △PQR{\displaystyle \triangle PQR} или PQR{\displaystyle }.
• Площадь фигуры F{\displaystyle F} обычно обозначается S(F){\displaystyle S(F)} или |F|{\displaystyle |F|}.
• Угол, образованный лучами OP){\displaystyle [OP)} и OQ){\displaystyle [OQ)}, обычно обозначается ∠POQ{\displaystyle \angle POQ}.
• Величина угла ∠POQ{\displaystyle \angle POQ} обычно обозначается ∡POQ{\displaystyle \measuredangle POQ}

  При этом для краткости величина угла часто обозначается строчной греческой буквой α,β,γ,…{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\dots }.

  .